Scott's world.

第六讲图上

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2019/07/26 Share

第六讲 图(上)

6.1 什么是图

表示”多对多”的关系

  • 包含

抽象数据类型定义

程序中表示一个图

邻接矩阵

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/* 图的邻接矩阵表示法 */

#define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */
#define INFINITY 65535 /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
typedef int Vertex; /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType; /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType; /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */

/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
Vertex V1, V2; /* 有向边<V1, V2> */
WeightType Weight; /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;

/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
int Nv; /* 顶点数 */
int Ne; /* 边数 */
WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */
DataType Data[MaxVertexNum]; /* 存顶点的数据 */
/* 注意:很多情况下,顶点无数据,此时Data[]可以不用出现 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */



MGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
Vertex V, W;
MGraph Graph;

Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne = 0;
/* 初始化邻接矩阵 */
/* 注意:这里默认顶点编号从0开始,到(Graph->Nv - 1) */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
for (W=0; W<Graph->Nv; W++)
Graph->G[V][W] = INFINITY;

return Graph;
}

void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
{
/* 插入边 <V1, V2> */
Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
/* 若是无向图,还要插入边<V2, V1> */
Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

MGraph BuildGraph()
{
MGraph Graph;
Edge E;
Vertex V;
int Nv, i;

scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */
Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */

scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */
if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */
E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */
/* 读入边,格式为"起点 终点 权重",插入邻接矩阵 */
for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
/* 注意:如果权重不是整型,Weight的读入格式要改 */
InsertEdge( Graph, E );
}
}

/* 如果顶点有数据的话,读入数据 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));

return Graph;
}

邻接表

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/* 图的邻接表表示法 */

#define MaxVertexNum 100 /* 最大顶点数设为100 */
typedef int Vertex; /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
typedef int WeightType; /* 边的权值设为整型 */
typedef char DataType; /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */

/* 边的定义 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
Vertex V1, V2; /* 有向边<V1, V2> */
WeightType Weight; /* 权重 */
};
typedef PtrToENode Edge;

/* 邻接点的定义 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;
struct AdjVNode{
Vertex AdjV; /* 邻接点下标 */
WeightType Weight; /* 边权重 */
PtrToAdjVNode Next; /* 指向下一个邻接点的指针 */
};

/* 顶点表头结点的定义 */
typedef struct Vnode{
PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
DataType Data; /* 存顶点的数据 */
/* 注意:很多情况下,顶点无数据,此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum]; /* AdjList是邻接表类型 */

/* 图结点的定义 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
int Nv; /* 顶点数 */
int Ne; /* 边数 */
AdjList G; /* 邻接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */



LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
Vertex V;
LGraph Graph;

Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne = 0;
/* 初始化邻接表头指针 */
/* 注意:这里默认顶点编号从0开始,到(Graph->Nv - 1) */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
Graph->G[V].FirstEdge = NULL;

return Graph;
}

void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
{
PtrToAdjVNode NewNode;

/* 插入边 <V1, V2> */
/* 为V2建立新的邻接点 */
NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
NewNode->AdjV = E->V2;
NewNode->Weight = E->Weight;
/* 将V2插入V1的表头 */
NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;

/* 若是无向图,还要插入边 <V2, V1> */
/* 为V1建立新的邻接点 */
NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
NewNode->AdjV = E->V1;
NewNode->Weight = E->Weight;
/* 将V1插入V2的表头 */
NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}

LGraph BuildGraph()
{
LGraph Graph;
Edge E;
Vertex V;
int Nv, i;

scanf("%d", &Nv); /* 读入顶点个数 */
Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */

scanf("%d", &(Graph->Ne)); /* 读入边数 */
if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */
E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */
/* 读入边,格式为"起点 终点 权重",插入邻接矩阵 */
for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
/* 注意:如果权重不是整型,Weight的读入格式要改 */
InsertEdge( Graph, E );
}
}

/* 如果顶点有数据的话,读入数据 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));

return Graph;
}

6.2 图的遍历

深度优先搜索(DFS)

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//伪代码
void DFS(Vertex V)
{
visited[V]=true;
for(V的每个邻接点W)
if(!visited[W])
DFS(W);
}
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/* 邻接表存储的图 - DFS */
void Visit( Vertex V )
{
printf("正在访问顶点%d\n", V);
}

/* Visited[]为全局变量,已经初始化为false */
void DFS( LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex) )
{ /* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */
PtrToAdjVNode W;

Visit( V ); /* 访问第V个顶点 */
Visited[V] = true; /* 标记V已访问 */

for( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
if ( !Visited[W->AdjV] ) /* 若W->AdjV未被访问 */
DFS( Graph, W->AdjV, Visit ); /* 则递归访问之 */
}

用邻接表存储图,有O(N+E)

用邻接矩阵存储图,有O(N^2)

广度优先搜索(BFS)

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//伪代码
void BFS(Vertex V)
{
visited[V]=true;
Enqueue(V,Q);
while(!IsEmpty(Q)){
V=Dequeue(Q);
for(V的每个邻接点W)
if(!visited[W]){
visited[W]=true;
Enqueue(W,Q);
}
}
}
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/* 邻接矩阵存储的图 - BFS */

/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边,即W是否V的邻接点。 */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现,关键取决于对不存在的边的表示方法。*/
/* 例如对有权图, 如果不存在的边被初始化为INFINITY, 则函数实现如下: */
bool IsEdge( MGraph Graph, Vertex V, Vertex W )
{
return Graph->G[V][W]<INFINITY ? true : false;
}

/* Visited[]为全局变量,已经初始化为false */
void BFS ( MGraph Graph, Vertex S, void (*Visit)(Vertex) )
{ /* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */
Queue Q;
Vertex V, W;

Q = CreateQueue( MaxSize ); /* 创建空队列, MaxSize为外部定义的常数 */
/* 访问顶点S:此处可根据具体访问需要改写 */
Visit( S );
Visited[S] = true; /* 标记S已访问 */
AddQ(Q, S); /* S入队列 */

while ( !IsEmpty(Q) ) {
V = DeleteQ(Q); /* 弹出V */
for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
/* 若W是V的邻接点并且未访问过 */
if ( !Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W) ) {
/* 访问顶点W */
Visit( W );
Visited[W] = true; /* 标记W已访问 */
AddQ(Q, W); /* W入队列 */
}
} /* while结束*/
}

用邻接表存储图,有O(N+E)

用邻接矩阵存储图,有O(N^2)

BFS与DFS的比较

一、深度优先搜索(dfs)的特点是

  • 深度优先搜索法有递归以及非递归两种设计方法。一般的,当搜索深度较小、问题递归方式比较明显时,用递归方法设计好,它可以使得程序结构更简捷易懂。当数据量较大时,由于系统堆栈容量的限制,递归容易产生溢出,用非递归方法设计比较好。

  • 深度优先搜索方法有广义和狭义两种理解。广义的理解是,只要最新产生的结点(即深度最大的结点)先进行扩展的方法,就称为深度优先搜索方法。在这种理解情况下,深度优先搜索算法有全部保留和不全部保留产生的结点的两种情况。而狭义的理解是,仅仅只保留全部产生结点的算法。本书取前一种广义的理解。不保留全部结点的算法属于一般的回溯算法范畴。保留全部结点的算法,实际上是在数据库中产生一个结点之间的搜索树,因此也属于图搜索算法的范畴。

  • 不保留全部结点的深度优先搜索法,由于把扩展望的结点从数据库中弹出删除,这样,一般在数据库中存储的结点数就是深度值,因此它占用的空间较少,所以,当搜索树的结点较多,用其他方法易产生内存溢出时,深度优先搜索不失为一种有效的算法。

  • 不一定会得到最优解,这个时候需要修改原算法:把原输出过程的地方改为记录过程,即记录达到当前目标的路径和相应的路程值,并与前面已记录的值进行比较,保留其中最优的,等全部搜索完成后,才把保留的最优解输出。
    二、广度优先搜索法(bfs)的显著特点是:

  • 在产生新的子结点时,深度越小的结点越先得到扩展,即先产生它的子结点。为使算法便于实现,存放结点的数据库一般用队列的结构。

  • 无论问题性质如何不同,利用广度优先搜索法解题的基本算法是相同的,但数据库中每一结点内容,产生式规则,根据不同的问题,有不同的内容和结构,就是同一问题也可以有不同的表示方法。

  • 当结点到跟结点的费用(有的书称为耗散值)和结点的深度成正比时,特别是当每一结点到根结点的费用等于深度时,用广度优先法得到的解是最优解,但如果不成正比,则得到的解不一定是最优解。这一类问题要求出最优解,一种方法是使用后面要介绍的其他方法求解,另外一种方法是改进前面深度(或广度)优先搜索算法:找到一个目标后,不是立即退出,而是记录下目标结点的路径和费用,如果有多个目标结点,就加以比较,留下较优的结点。把所有可能的路径都搜索完后,才输出记录的最优路径。

  • 广度优先搜索算法,一般需要存储产生的所有结点,占的存储空间要比深度优先大得多,因此程序设计中,必须考虑溢出和节省内存空间得问题。

  • 比较深度优先和广度优先两种搜索法,广度优先搜索法一般无回溯操作,即入栈和出栈的操作,所以运行速度比深度优先搜索算法法要快些。

    总之,一般情况下,深度优先搜索法占内存少但速度较慢,广度优先搜索算法占内存多但速度较快,在距离和深度成正比的情况下能较快地求出最优解。因此在选择用哪种算法时,要综合考虑。决定取舍。

图的连通

6.3 应用实例:拯救007

6.4 应用实例:六度空间(Six Degrees of Separation)

算法思路

  • 对每个节点,进行广度优先搜索
  • 搜索过程中累计访问的节点数
  • 需要记录”层”数,仅计算6层以内的节点数
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//伪代码
void SDS()
{
for(each V in G){
count=BFS(V);
Output(count/N);
}
}

int BFS(Vertex V)
{
visited[V]=true;
count=1; //记录访问的节点数
level=0; //层数
last=V; //进队列访问的最后一个节点
Enqueue(V,Q);
while(!IsEmpty(Q)){
V=Dequeue(Q);
for(V的每个邻接点W)
if(!visited[W]){
visited[W]=true;
Enqueue(W,Q);
count++;
tail=W; //进队列的最后一个节点
}
if(V==last){
level++;
last=tail;
}
if(level==6)break;
}
return count;
}
CATALOG
  1. 1. 第六讲 图(上)
    1. 1.1. 6.1 什么是图
      1. 1.1.1. 抽象数据类型定义
      2. 1.1.2. 程序中表示一个图
        1. 1.1.2.1. 邻接矩阵
        2. 1.1.2.2. 邻接表
    2. 1.2. 6.2 图的遍历
      1. 1.2.1. 深度优先搜索(DFS)
      2. 1.2.2. 广度优先搜索(BFS)
      3. 1.2.3. BFS与DFS的比较
      4. 1.2.4. 图的连通
    3. 1.3. 6.3 应用实例:拯救007
    4. 1.4. 6.4 应用实例:六度空间(Six Degrees of Separation)
      1. 1.4.1. 算法思路